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\chapter{网络均衡模型} \label{sec:network_flow_model}

网络均衡模型也是交通领域的对需求预测的研究成果之一。它来源于博弈论中的纳什均衡理论，着重刻画交通系统的平衡状态。在此状态下，任一旅客都无法通过单一地改变自己的选择以达到减少出行成本的目的。在城市道路交通的研究领域，这个平衡条件进一步的被Wardrop\cite{Wardrop-1953}解释，形成了Wardrop第一平衡原理，有大量的研究围绕此原理展开。其核心内容是，所有被旅客所选择的路径的费用（路径所使用所有弧的成本）总是相等且小于没有被使用的路径。这个原理随后被用于构建数学模型，Beckmann等\cite{Beckmann-1956}首先提出了这个原理的数学规划模型，文献\parencite{Sheffi-164,Patriksson-296}详细讨论了这类模型的构建与拓展以及求解方法。

网络均衡模型广泛被用于铁路客运领域。在运用网络均衡模型时，首先需要把运输网络抽象为一个点弧构造的出行网络。对于具体的铁路客运网络，通常可以根据不同列车之间的接续和停站关系构建一个换乘网络。在此基础上考虑旅客不同的出行路径上出行的旅客数量。一个典型的出行网络如图\ref{fig:2-5}所示。其中旅客的路径由不同种类的弧段$a \in A$表示，如上车弧，换乘弧，旅行弧和到达弧等。每条弧都对应有一个成本$c_a$，用以量化表达旅客在进行这条弧所代表的动作所花费的时间和金钱。

\begin{figure}[htb]
	\centering
	\includegraphics[width=\textwidth]{Fig_2-5.png}
	\bicaption[fig:2-5]{出行网络示例}{出行网络示例}{Fig}{An example of travel network}
\end{figure}

与城市道路交通的出行网络不同，铁路出行网络中占出行主要成分的乘车弧的成本通常为一个定值。而在城市道路系统中，由于存在拥挤现象，弧的成本是随着经过该弧的用户数量增加而增加的。铁路出行并不存在影响出行弧成本的拥挤——每一个旅客都只付出了一张车票的成本，旅行的时间也基本取决于时刻表的安排，也就是说，时间和金钱的花费与所乘坐的列车上的人数是无关的。

除此之外，通过对预订弧的拓展，可以表达在客票预订过程中采用的某些客票销售规则。例如史峰等\cite{史峰陈彦-125}通过拓展预订弧，在列车开行方案的基础上考虑了上限式控制模式的优化问题。

本节使用$x_a$表示经过弧$a$的旅客人数；$K^l$表示子市场$l$的旅客的所有可能路径，用$k \in K^l$索引；$f_k^l$表示市场$l$旅客选择路径$k$的人数；$q^l$表示市场$l$的人数；$c_{a}$表示弧$a$的容量，对于乘车弧，它表示列车所有的座位数量；$\delta_{k}^{a}$是一个0-1变量，表示路径$k$是否经过弧$a$。

在完成出行网络的构建之后，就可以列举出平衡条件。根据网络构建的方式不同，平衡条件的具体表达也是不同的。令$\pi^l$表示市场$l$旅客的最小出行的花费；$\phi_{k}^{l}$表示$l$市场旅客在路径$k$上的花费，Wardrop第一平衡原理可以表达为式(\ref{eq:2-18})。
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ll}{\phi_{k}^{l}=\pi^l,} & {\text { if } f_{k}^{l}>0} \\ {\phi_{k}^{l} \geq \pi^l,} & {\text { if } f_{p}^{g}=0}\end{array}\right.,\forall l \in L, k \in K^l \label{eq:2-18}
\end{equation}

为了求解均衡条件下的流量$\boldsymbol{f}$，通常可以进一步建立数学规划问题，变分不等式问题，非线性互补问题和不动点问题的对应模型。最常见的铁路客运网络均衡模型的形式是数学规划问题形式，通常使用Beckmann模型及其变形。 下面展示一个典型的铁路网络均衡数学规划模型。 

\begin{align}
& \min _{\boldsymbol{x}} \sum_{a \in A} c_{a} \cdot x_{a} \nonumber\\
& \text{s.t.} \nonumber \\
& q^l=\sum_{k \in K^l} f_{k}^{l}, \ \forall l \in L \nonumber \\
& x_a \leq u_{a}, \ \forall a \in A \label{eq:2-19} \\
& f_k^l \geq 0, \ \forall l \in L,k \in K^l \nonumber \\
& x_a=\sum_{l \in L} \sum_{k \in K^l} f_k^l \cdot \delta_{k}^{a} \nonumber
\end{align}


此模型的KKT条件符合Wardrop原则，其中Guangming Xu等\cite{XuYang-301}指出，在平衡存在时，式(\ref{eq:2-19})对应的对偶变量的值可以理解为预定弧$a$的成本。

网络均衡模型同样也能适用于“$N > 1$”型问题，对于每一阶段的售票情况，都会存在一个均衡条件。通过求解当前阶段的均衡，可以得到当前阶段的资源使用情况和最优行动。然后更新$c_a$和$q^l$，就能够求解下一阶段的均衡条件。
